
\prob{009E}{直线运动条件}

\begin{figure}[htbp]
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  \image{009E}
  \caption{总第~\ref{sec:009E} 题图} \label{fig:009E}
\end{figure}

如图~\ref{fig:009E}，圆$O$、点$A$固定，$B$在圆$O$上运动，$C$是射线$AB$上一点，且满足$AB \cdot AC$为定值。证明：当$B$运动时，$C$的轨迹为一条垂直于$OA$的直线$CH$，其中$H$为垂足。
\problabels{yellow/平面几何, green/证明题}

\subsection{相似三角形} \label{subsec:009E-sim}

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \image{009E-sim}
  \caption{解法~\ref{subsec:009E-sim} 图} \label{fig:009E-sim}
\end{figure}

如图~\ref{fig:009E-sim}，令直线$OA$交圆$O$于点$D$，$D$不与$A$重合。易知$AD$为圆$O$的直径，故$\angle ABD = \angle H = 90^\circ$。于是知$\triangle CAH \sim \triangle DAB$，由此知$AB \cdot AC = AD \cdot AH$。

$AB \cdot AC$与$AD$均为定值，故$AH$为定值，$H$为定点。因此，在$C$的运动过程中，不论$C$在何处，其到直线$OA$的垂足总为定值，故$C$总是在垂直于$OA$的某定直线上。证毕。
